让情趣和智慧在探究中同构共生

               ——《面积的变化》教学设计 

武进区湟里中心小学  蒋钘

教学内容：

苏教版小学数学六年级下册 

教学重点：

探索发现平面图形按一定的比例放大后面积的变化规律及发现规律的过程。 

教学难点：

应用发现的规律解决实际问题。 

教材分析：

“面积的变化”是苏教版最富创意的教学内容，它是结合比例单元教学内容安排的一次实践与综合应用，主要目的是让学生经历“猜测－验证”的过程，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步体会比例的应用价值，提高学习数学的兴趣。 

教材分两部分安排，第一部分是探究平面图形按比例放大后面积的变化规律。先让学生猜测——验证出长方形按比例放大后面积的变化规律，再研究出正方形、三角形和圆分别按比例放大后面积的变化规律，从而得出：把平面图形按n:1的比放大后，放大后的面积与放大前面积的比是n²:1。第二部分是引导学生应用发现的规律解决实际问题。要求学生从图中选择一幢建筑或一处设施，测量并计算它的实际占地面积，使学生进一步体验解决问题的乐趣，提高解决问题的策略水平。 

教学目标 

1．让学生经历“猜测－验证”的过程，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步体会比例的应用价值，提高学习数学的兴趣。 

2．让学生在发现规律和应用规律的过程中，进一步体验解决问题的乐趣，提高解决问题的策略水平。 

3．让学生在观察、比较、猜测、验证、推理与交流等活动中，培养分析、抽象、概括的能力，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，体会比例尺的应用价值，发展对数学的积极情感。

设计思路 

如何将这次实践与综合应用转化为学生富有情趣、充满智慧的探究活动呢？ 

1. 让探究的问题放射迷人的色彩。

课伊始，疑乃生。面积比与长度比有什么关系呢？

课进行，疑未停。正方形、平行四边形、三角形……这些图形放大后，图形面积的变化也遵循这样的规律吗？

课将终，疑不断。平面图形缩小后，面积的变化规律又是什么？平面图形放大和缩小后，周长比与长度比又有什么关系？立体图形放大和缩小后，体积的变化规律又是什么呢？这些问题或猜想，源于学生的认知活动，出自学生的内心世界，贴近学生的最近发展区，宛若一个个晶莹熟透的果实。可这迷人的果实是生是熟，是甜是苦，学生不得而知，他们需要调动自己的认识贮备，发挥团队的互助作用，去验证最初的判断。所有这些，几乎又验证了——提出一个问题比解决一个问题更重要。是的，问题是数学的心脏，是认知的驱动力，当问题与学生的知识经验紧密联系，并具有一定的挑战性和综合性时，这样的问题才能让学生吸引学生成为研究者。 

2．让探究的过程闪耀智慧的光芒。本设计不断让学生经历“猜测——验证” 的过程。从发现长方形面积的变化规律，到发现已学的每个平面图形的面积的变化规律，每一个发现不仅是学生亲身体验“猜测——验证”的过程，而且是学生智慧积淀的过程。这一探究的过程蕴含的数学价值是巨大的，数学家发现数学规律的过程不正是先有猜想，而后再进行验证与修正的过程吗？每个学生几乎难以成为数学家，但他们从中学到的合情推理、有根有据的思维及得到的合作与交流的愉悦体验，将提升他们人生的智慧含量。 

3．让探究的成果成为解题的法宝。人们常说，自己蒸的馍——香。学生自主探索出的规律，由于体验之深，悟之透彻，当然用起来顺手，“舞”起来灵动。当学生不求边长（半径）也能求面积时，不仅扩展了解题思路，而且同化了原有的解题模式，规律的运用让他们神清气爽，技能娴熟；当学生由平面图形面积的变化规律，联想到平面图形周长及立体图形体积的变化规律时，规律的解读让学生浮想联翩、创意不断。所有这些都源于对探究成果的充分运用。重过程，我们不能轻结果，因为细细品味，这结果不仅能使我们长知识，而且能增智慧。 

教学过程 

一、引发冲突，揭示课题。

1．出示问题，自主尝试。 

你能算出办公楼的实际占地面积吗？。 

2．出示解法，引出矛盾。 

解法1：2×1000＝2000(厘米)＝20（米）   20×20＝400（平方米） 

解法2：2×2＝4（平方厘米）  4×1000＝4000（平方厘米）＝0.4(平方米) 

引思：他们的解法对吗？（学生可能说出错误的理由，也可能说不出错误的理由，对此，教师都不作判断。） 

3．揭示课题，明确目标 

师：今天这一节课，我们就来研究面积的变化。（板书课题）看看面积的比与长度比（比例尺）到底有什么样的关系？（板书：） 

【设计意图：寓新于解题之中，借此暴露认知冲突，从而揭示课题，这样不仅激发了学生探究的欲望，也使学生明确了探究目标。】 

二、提供题材，引导探究。 

1．出示：下图的大长方形是小长方形按比例放大得到的。（图见课本第52页） 

2．引导分步操作 

（1）量一量：长方形的长和宽。 （2）写一写：对应边长的比。 

（3）猜一猜：它们的面积比是几比几呢？ 

学生可能出现的答案：生1：3:1  生2：6:1  生3：9:1  生4：32:1 

（4）验一验：究竟是多少呢？你是用什么方法验证的？ 

学生可能出现的方法——①估一估：凭直觉；②算一算：分别算出大小长方形的面积再比较；③画一画：直接在大长方形中画出来。

（5）说一说：大长方形与小长方形的面积比是9:1，也就是大长方形的面积是小长方形面积的9倍。 

3．设疑——猜测——验证 

（1）师：把题中的小长方形按5:1比例放大，得到的大长方形的与小长方形的面积比又是多少呢？请先猜一猜，再通过算一算进行验证。

（2）提升

师：如果大长方形与小长方形的长度比是n:1，那么大长方形与小长方形的面积比是多少呢？ 

生：大长方形与小长方形的面积比是长度比的平方，即n²:1；也就是大长方形的面积是小长方形面积的n²倍。 

师：一只公鸡被一位买主买回了家，第一天，主人喂了公鸡一把米；第二天，主人又喂了公鸡一把米；第三天，主人照样喂了公鸡一把米。连续10天，主人每天喂给公鸡一把米，公鸡有了10天的经验，它就得出结论：主人每天都喂它一把米，但是，就在它得出结论不久，主人家来了客人，公鸡被杀了招待客人。同学们，听了公鸡推理法这个故事，你们有什么想法吗？ 

生：单凭一、两个例子验证猜想是正确的，可能为时过早，我们还需要用一般的方法进行验证。

出示：算一算，下图中大长方形与小长方形的面积比是多少？ 

 引导学生请字母帮忙进行验证，也可运用积的变化规律来说明。 

5．回顾：你发现了什么规律？这个规律是怎样发现的？ 

【设计意图：由图形比较诱发直觉猜想，由计算比较佐证猜想的正确，由公鸡推理走向更一般的代数证明。这一环节清晰自然，步步深入，使学生充分感知了长方形按比例放大后面积的变化规律，并经历了细细致入微的“猜测－验证”的过程，直觉思维与逻辑思维相互映照，谱写了一首科学发现过程的交响乐，并为下面的探究奠定了和谐的基调。】 

三、大胆推想，细心验证 

1．推想 

师：我们发现把一个长方形按n:1放大，得到的长方形与小长方形的面积比是n²:1。由长方形面积变化的规律，你还能想到了什么呢？ 

生1：把一个正方形按n:1放大，得到的大正方形与小正方形的面积比是n²:1。 

生2：把一个三角形按n:1放大，得到的三角形与小三角形的面积比是n²:1

生3：把一个平行四边形按n:1放大，得到的大平行四边形与小平行四形的面积比是n²:1。 

生4：把一个梯形按n:1放大，得到的在梯形与小梯形的面积比是n²:1。 

生5：把一个圆按n:1放大，得到的大圆与小圆的面积比是n²:1。 

2．验证 

（1）出示“正方形、三角形、圆形以及它们放大后的图形”（见课本第52页中的3组图）。 

（2）分组测量——计算——填表。（表见课本第53页） 

小组里分工分别测量正方形的边长、三角形的底和高、圆的半径，并写出相应的比。 

（3）交流发现（略）。 

（4）分组选择平行四边形或梯形，请字母帮忙验证，并展示推导过程。 

3．归纳 

师：你能把我们发现的这些规律合起来说一说吗？ 

生：把一个平面图形按n:1放大，得到的大图形与小图形的面积比是长度比的平方，即n²:1，也就是大图形的面积是小图形面积的n²倍。 

【设计意图：鼓励学生大胆推想，让学生经历数学问题的产生和解决的全过程，这是发展学生创新意识和解放“学习力”的有效途径。这一过程波澜起伏，充满挑战，学生在“推想——验证”这些图形面积变化规律的同时，不仅完善了认知结构，而且提升了思维品质，丰富了科学发现的历程。】 

四、分层作业，内化规律。 

1．运用规律写答案。 

（1）把一个长方形的长扩大5倍，宽也扩大5倍，放大后与放大前面积的比是（      ）。     

（2）一个正方形的边长扩大1.5倍，面积扩大（      ）倍。 

（3）一个平行四边形的底扩大4倍，高也扩大4倍，面积扩大（      ）倍。 

（4）有一个圆，现在的半径是原来的10倍，现在的面积是原来的（    ）。 

2．回头看——讨论交流。

（1）为什么解法2求出的办公楼占地面积是错误的？ 

（2）比例尺是面积比吗？实际占地面积是把图上面积按几比几放大的？实际占地面积应是把图上面积的多少倍？（1000×1000） 

（3）怎样化错为对呢？ 

生：因为面积比等于边长比的平方，所以列式计算是：2×2×1000²＝4000000（平方厘米），4000000平方厘米＝400（平方米）。（红笔书写1000²） 

（4）比较、打通两种解法 

（2×1000）×（2×1000）=2×2×1000² 

3．动手动脑，解决问题。 

（1）出示东港小学的校园平面图（图见课本第53页）。要求用学到的规律计算出综合楼的实际面积。 

（2）交流解法。 

解法1： 2×4×1000²=8000000（平方厘米） 8000000平方厘米＝800（平方米）。 

解法2：（2×1000）×（4×1000）=8000000（平方厘米） 8000000平方厘米＝800（平方米） 

解法3： 400×（4÷2）=800（平方米）（倍比法） 

【设计意图：应用规律解决实际问题是学生学习的难点，这里采用由易到难、逐步内化的方法，先形成运用规律的技能；再通过解读比例尺的多种含义，沟通不同解题思路的内在联系；然后通过多样化地计算综合楼的实际面积，让学生进一步熟悉规律，从中感受数学与实际生活的密切联系，体验解决问题的乐趣，提高解决问题的策略水平。】 

五、当堂检测，自我评价。 

1．夺星大挑战（只列式，不计算）。 

☆☆（1）李大爷家有一块三角形的菜地，画在比例尺是1:2000的图纸上，底边长8厘米，高6厘米。这块三角形菜地的实际面积是多少平方米？ 

☆☆（2）一面五星红旗，将它按照1:30的比缩小后，得到的是一个长方形，长是6厘米，宽是4厘米。这面五星红旗的实际大小是多少？ 

☆☆（3）一个面积是314平方厘米的圆，按照2:1的比扩大后,面积是多少平方厘米? 

☆☆☆☆（4）如果一个长方形的长扩大2倍，宽扩大3倍，它的面积扩大多少倍？ 

2．出示答案，自我评星。 

【设计意图：这一环节通过演绎面积的变化规律，一方面进一步提升了学生运用规律解决问题的能力，另一方面培养了学生自我评价的能力，增强了学生学习的自觉性和自信心。】 

六、回顾反思，拓展延伸 

1．回顾：我们是怎样研究面积的变化的？从中发现了什么？ 

在解题中发现问题，从研究长方形面积的变化入手，通过猜测——验证——归类的方法，找到面积变化的规律。 

2．拓展 

（1）师：提出一个问题比解决一个问题还重要，从我们研究所得的结论中，你还能作出哪些大胆的猜测？ 

（2）引导学生抓住放大想到缩小，抓住面积想到周长，抓住平面图形想到立体图形，抓住n:1想到n:m，从而可能得出下列猜测： 

猜测1：把一个平面图形按1: n的比缩小，缩小后与缩小前的图形的面积比是1²: n²， 

即1/n²。 

猜测2：把一个平面图形按1: n的比缩小，缩小后与缩小前的图形的面积比是1²: n²， 即1/n²。 

猜测3：把一个平面图形按n:1放大，得到的大图形与小图形的周长比与长度比相同，都是n:1。 

猜测4：把一个平面图形按1: n的比缩小，得到的小图形与大图形的周长比与长度比相同，都是1:n。 

猜测5：问题：把一个立体图形按n:1放大，得到的大立体图形与小立体图形的体积比是长度比的立方，即n³:1，也就是大图形的面积是小图形面积的n³倍。 

猜测6：把一个立体图形按1:n的比缩小，得到的小立体图形与大立体图形的体积比是长度比的立方，即1:n³，也就是大图形的面积是小图形面积的1/n³倍。 

3．研究 

师：同学们，让我们带着猜测，携起手来，课后共同探索验证，相信同学们会会得到令人信服的结论。 

【设计意图：由问号到句号，又由句号到问号，这种循环往复不断推想的过程，正是学生形成科学素养的过程。在这一挑战自我的过程中，学生的问题意识得以形成，创新意识得以迸发。】