小学代数思维教学初探
江苏省如皋师范学校附属小学 汤卫红
全美数学教师理事会1994年通过的“为每个人的代数”的报告引发了世界各国越来越多的数学教育工作者开始关注代数思维的教学研究。在推进新课程改革的今天，我国的一些数学教育工作者也逐步开展了这方面的研究。究竟什么是代数思维，当前小学阶段的代数思维教学存在什么问题，产生的原因何在，我们又应当如何发展儿童的代数思维，本文试图作一些探讨。
一、什么是代数思维
在中小学数学教育中，代数思维被认为是数学的“核心思想”而占有较为重要的地位。因为“‘数字化时代’，代数已经成为通向高等教育和机遇的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开抽象代数思维”。[1]
长期以来，小学数学的内容在思维方式上更多地倾向于算术思维。算术思维的对象主要是数字（属于常量）及其计算与拆合，而代数思维的对象则主要是代数式（属于变量）及其运算与变换。算术思维侧重于程序思维，着重的是利用数量计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维就其本质而言是一种关系思维，它的要点是发现（一般化的）关系和结构，以及明确这些关系与结构之间的关系。代数思维的运算过程是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的。结构化、符号化、抽象化及概括化是代数思维的特点。如“南京地铁一号线地下部分大约长14.3千米，比地上部分的2倍少0.7千米。地上部分大约长多少千米？”用算术思维来解决，通过对问题情境的理解，首先算出14.3＋0.7＝15（米），这就是地上部分的2倍，再用15÷2＝7.5（千米），求出地上部分的长度。两道算式记录了思考的过程，通过对已知数量的一系列运算，不断接近最终的结果。而用代数思维来解决，设地上部分大约长x千米，通过对问题情境的抽象，分析出具有结构性的关系式，再符号化成方程式2x－0.7＝14.3，接下来的运算过程则是与原问题情境无关的符号运算，最后再对求出的解x＝7.5进行意义上的还原。代数思维必须以算术思维为基础但又必须超越算术思维。从算术思维到代数思维的跨越是儿童数学学习必须经历的一个极为重要的阶段，这个过渡并非一个经过练习能够跨越的量变过程，而是一个必须经历结构转化的质变过程。
二、当前代数思维教学存在的问题及原因分析
尽管数学教育是一个不可分割的整体，但在小学数学教学中，算术思维和代数思维割裂的状况却长期存在。尽管课程标准中将“数与代数”设为一个领域，但一个不争的事实却是课程实施中数学教师们仍普遍将算术和代数两个领域“分而治之”。更多的教师在观念上仍然将小学数学主要理解为“算术”，在思维方式上总体上也倾向于算术思维，算术中潜在的代数特性在无视关系思维的前提下，被只关注算术中的程序思维所遗忘，这也就在客观上造成了儿童学习代数的潜在困难。笔者曾听到一位教师在初教“方程”单元时提醒学生：把用算术方法求出的结果换成x，“反过来”，不就得到方程了吗？学生还真屡试不爽，“顺利”过关了第一次接触的“方程”内容。好一个“反过来”！总是试图用算术程序思维来解决“代数问题”能够实现从算术思维到代数思维的过渡吗？难以想像，学生第二次接触“方程”单元时，如何解决稍复杂的实际问题呢？我真不知道这位老师还会想出什么“高招”。
造成这种状况的原因，有历史和传统的原因，更有认识和现实的根源。长期以来，“算术”被视为小学数学教育的主要内容，而“代数”则被认为是中学数学的内容，许多人认为小学儿童还不具备相应的抽象思维能力涉及代数内容。尽管课程标准已经将义务教育阶段的内容整体考虑，但由于传统的惯性，人们的认识还未能与时俱进。一线的很多小学数学教师自身已经非常缺乏“代数地思考”问题的意识，这也就很难从根本上去改变代数思维教学。笔者曾经多次参加小学数学教师学科素养测试或招聘考试的命题，测试的内容往往不局限于小学数学教材内容，或多或少有些拓展，还包括一些中学数学的内容，阅卷中我们发现：新师范毕业生和新教师往往在解决问题时自然而然地将一些较复杂的问题用代数的方法来解决，而随着教龄的增长，老教师们却越来越少地对问题进行“代数地思考”，整张答卷中很少出现代数式、方程、不等式和函数，虽然有许多问题用这些代数知识很容易解答，但老教师们似乎对算术方法情有独钟，哪怕算术方法相当的困难，需要花费较多的精力。或许，有人会辩解：老教师们中学代数的知识已经大多遗忘了。但事实是，当我们事后有意识地提醒第×题可以用方程解决时，老教师们却并没有让命题者失望。这充分表明：小学数学教师的“代数地思考”的意识正日渐淡薄，尽管他们仍具有代数思维的能力。另一方面，小学数学教学与研究和中学数学与研究是两个互不相干的领域，这两个领域的人们似乎“隔行如隔山”，鲜有往来。甚至从编写教材开始，尽管课程标准是统一编制的，但编写初中（7～9年级）和小学（1～6年级）的人员却是两套人马，即使这些人员能够将标准的整体要求了然于胸，但缺少了对教材的整体规划与把握，很难说通过对教材内容的学习，儿童能够顺利实现从算术思维到代数思维的跨越，使代数思维的发展迈入良性的轨道。
反思：代数思维本质上是一种关系思维，目的是发现（一般化的）关系、明确结构、并把它们联接起来。小学数学教学传统和现实、人为因素的影响造成算术与代数的割裂是代数思维教学的主要障碍。通过发展算术中的关系性思维、符号表征能力和函数思想可以发展儿童的代数思维。
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