公倍数与最小公倍数
课前思考：以往教学公倍数的概念，通常是直接找出两个自然数的倍数，然后让学生发现有的倍数是两个数公有的，从而揭示公倍数和最小公倍数的概念。公因数和最大公因数的教学同样如此。本单元教材注意以直观的操作活动，让学生经历公倍数和公因数概念的形成过程。这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍数和公因数的实际背景，加深对抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。以公倍数为例，教学时应让学生经历下面几个环节：第一，准备好必要的图形。要为学生准备长3厘米、宽2厘米的长方形，边长6厘米和8厘米的正方形，也要准备边长为12、18、24厘米等不同的正方形。第二，经历操作活动。让学生按要求自主操作，发现用长3厘米、宽2厘米的长方形可以正好铺满边长6厘米的正方形，而不能正好铺满边长8厘米的正方形。在发现结果的同时，还应引导学生联系除法算式进行思考。这是对直观操作活动的初步抽象。第三，把初步发现的结论进行类推，先自己尝试看还能铺满边长是多少的正方形，再在小组里交流。不难发现能正好铺满边长12厘米、18厘米、24厘米等的正方形；在此基础上，还应引导学生思考12、18、24等这些边长和长方形的长、宽有什么关系。第四，揭示公倍数和最小公倍数的概念，突出概念的内涵是“既是……又是……”即“公有”。第五，判断8是不是2和3的公倍数，让学生通过反例进一步认识公倍数。理解概念的外延。在此基础上，教材注意借助直观的集合图显示公倍数的意义。教学重难点：认识公倍数与最小公倍数，会求10以内两个数的最小公倍数。突破重难点的措施：通过操作活动，并通过一系列的讨论，引导学生具体感知公倍数的含义，揭示公倍数的概念。然后放手让学生独立思考，自主探索解决问题，感悟求两个数的最小公倍数的一般方法，并揭示最小公倍数的概念。介绍用集合图表示6和9的倍数和公倍数，帮助学生更加直观地理解公倍数的概念。
学习目标：
1、学生通过具体的操作和交流活动，认识公倍数与最小公倍数，会用举例的方法求10以内两个数的最小公倍数。突出概念的内涵是“既是……又是……”即“公有”。 公有的倍数就是公倍数，其中最小的公倍数就是最小公倍数。
2、学生经历探索和发现数学知识的过程，积累数学活动的经验，进一步培养自主探索与合作交流的能力。
3、学生参与学习活动的过程中，体验学习和探索活动的乐趣，增强对数学学习的信心。
教学过程：
（一）导入新课
今天我们先来玩找朋友的游戏。我们每人都有一个学号牌，请两同学协助，给他们每人一个数字卡片，分别是4和6，请其他学生的学号牌是他们其中一位手中数的倍数，那就是他的好朋友。
估计会出现争朋友的情况，如12、24时。提出：那么12、24等数与4、6是什么关系？今天我们就来继续研究关于倍数的知识。
（二）教学例题
教学例1
1、猜一猜。
出示边长6厘米、8厘米的两个正方形。
如果用一些长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺在这两个正方形上，你觉得可以正好铺满哪个正方形？ 学生说猜想的结果和想法。
现在请你们用这样的长方形纸片分别铺在你们准备好的这两个正方形上，看看铺的结果会怎样？
2、操作活动。
学生分组活动，在小组里铺一铺，说一说。
3、汇报交流。
通过刚才的活动，你们发现了什么？说说你是怎样铺成的？学生发现用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片正好可以铺满边长是6厘米的正方形，不能正好铺满边长是8厘米的正方形。
为什么用这样的长方形纸片能正好铺满边长6厘米的正方形？
引导学生观察正方形边长与长方形的长、宽之间的关系来回答：
（1）用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺边长6厘米的正方形，每条边各铺了几次？怎样用算式表示？（板书：6÷3=2,6÷2=3）
（2）铺边长8厘米的正方形呢？每条边都能正好铺完吗？
（8÷3＝2……2，8÷2＝4）
（3）这样的正方形还能铺满边长是多少厘米的正方形？学生在小组里交流。组织学生在班级中说一说。（板书：12厘米、18厘米、24厘米……）
说说你的理由。
明确：12、18、24……除以2和3都没有余数。
（4）6、12、18、24……这些数与2有什么关系？与3呢？ （学生发现6、12、24……既是2的倍数，又是3的倍数。）
4、只要正方形的边长既是2的倍数，又是3的倍数，这样的长方形纸片就能正好把它铺满。6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。
（板书课题：公倍数）
5、2和3的公倍有多少个呢？为什么？
（因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的，可以用省略号来表示）
6、8是2和3 公倍数吗？为什么？（尽管8是2的倍数，但8不是3的倍数，所以8不是2和3的公倍数）
教学例2
1、出示例2。
6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？你能试着找一找吗？ 你有什么好方法能很快找出来？
小组活动，交流做法和想法。
2、汇报交流。学生可能出现的方法有
（1）依次分别找出6和9的倍数，然后再找出它们的公倍数。
（2）先找出6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。
（3）先找出9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。
引导：这三种方法你觉得哪一种方法简洁一些？
3、这些方法有什么相同的地方？（先找出某个数的倍数，再找出公倍数）
你觉得哪一种方法简捷一些？
4、6和9的公倍数中最小是几呢？（板书：6和9的公倍数中最小是18）
18就是6和9的最小公倍数。
（板书课题：最小公倍数）
5、我们可以用画图来表示6的倍数、9的倍数，6和9的公倍数。
出示教科书第23页集合圈。
（1）你能看出哪些数是6的倍数吗？
（2）哪些数是9的倍数？
（3）6和9的公倍数是哪些数？
（4）图中三个省略号各表示什么？
（5）6和9的最小公倍数是多少？
6、完成练一练。
先在2的倍数上画“△”，在5的倍数上画“○”，然后完成填空。
汇报交流。
2和5的公倍数有什么特点？（是10的倍数，个位上是0的自然数）
（三）巩固练习
1、完成练习四第1题。
（1）独立完成。
（2）汇报核对。
这里需要写省略号吗？为什么？
如果没有“50以内”这个条件呢？
2、完成练习四第2题。
（1）理解题意，完成填表。
（2）在表中用不同的符号分别圈出4和5、4和6、5和6的公倍数。
（3）完成填空。
4与一个数的乘积，与4有什么关系？
怎样找4和5的公倍数？
填空时需要写省略号吗？为什么？
3、完成练习四第3题。
（1）学生独立完成。
（2）汇报各自的方法。
说说你是用什么方法找出的？
你觉得哪一种方法最好？
4、完成练习四第4题。
（1）独立完成。
（2）说说各自的方法。
两种棋都会走到的数有什么共同特点？
（四）课堂总结
今天学习了什么内容？说说看什么是两个数的公倍数和最小公倍数？
你会用怎样的方法找两个数的公倍数和最小公倍数？
板书设计：
公倍数与最小公倍数
6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。
6和9的公倍数中最小是18，18就是6和9的最小公倍数。
教后反思
课前准备了10个长3厘米宽2厘米的小长方形和一张分别画着边长6厘米和8厘米的正方形的纸。课开始，要求每个学生用长方形铺在正方形里，试试看能铺满吗？边长6厘米正方形大多学生一会儿就铺满了，学生并没有马上去思考为什么。而边长8厘米的正方形因为多次没有铺满，所以大多的学生还在想办法铺满，且自然而然地同桌一起讨论、交流，尽力想办法铺满边长8厘米的正方形，终于发现：用长3厘米宽2厘米的小长方形铺在边长8厘米的正方形里，不管怎么改变铺的形式，铺满是不可能的。
“用长3厘米宽2厘米的小长方形铺在边长6厘米的正方形里能铺满，而铺在边长8厘米的正方形里不能铺满，为什么？”我这时抛出了这样的思考，学生开始自觉地、静静地想……。虽然，出现了短暂的冷场，但举手的人渐渐多了起来。
生1：因为6÷2＝3，6÷2＝3都能除尽（教师说明商刚好是整数），所以能铺满；而8÷2＝4，8÷3＝？不能除尽（教师说明商得不到整数），所以不能铺满。
生2：6是2的倍数，也是3的倍数，所以能铺满；而8是2的倍数，但不是3的倍数，所以不能铺满。
生3：2和3都是6的因数，所以能铺满；2和3不全是8的因数，所以不能铺满。
三种说法都是正确的，教师和学生一起先沟通了三种说法之间的联系，然后采用倍数的说法，引出“公倍数”这一新概念。接着，开始了自主找6和9公倍数的学习活动。
由于，学生在操作、交流活动中多的是内心的感悟，所以思维也是多向的。班级交流反馈中出现了以下几种思路：⑴6×3＝18，9×2＝18，每次再加18，6和9的公倍数有18，36，54，72等等。⑵先找6和9的倍数，再找出6和9相同的倍数。⑶先找出6的倍数，再在6的倍数中找出9的倍数。⑷先找出9的倍数，再在9的倍数中找出6的倍数。⑸只要6×3＝18或者9×2＝18，找到6和9的最小公倍数，再乘2、3、4……写出其他的公倍数（教师解读，已经有分解质因数或短除法的方法求最小公倍数的成分了）。
之所以学生有这么多比较到位的生成，源于动手实践的感受和感悟，特别源于用长3厘米宽2厘米的小长方形铺在边长8厘米的正方形里，对多次不能铺满的“失败”感受。“失败”和“成功”中，由于学生的差异，感受是不一样的、多向的，思维和表达的语言也是不同的，有效的生成也是多彩的！
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