波利亚数学教育思想
波利亚(George Polya)1881年12月13日出生于布达佩斯,后移居美国,1985年9月7日去逝.上世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家.
波利亚一生著有数学教育论文和专著约300篇(部),其中最为著名的是《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学的发现》等,这些著作是他数学研究、数学史研究及教育研究与实践的结晶,影响之深远,为20世纪所罕见.为此,他被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家.
一、波利亚的解题教学思想
波利亚认为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力,而不仅仅是传授知识”.在数学学科中,能力指的是什么?波利亚说: “这就是解决问题的才智———我们这里所指的问题,不仅仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神.”他发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上的重大发现之间,并没有不可逾越的鸿沟.要想有重大的发现,就必须重视平时的解题.通过研究解题方法看到“处于发现过程中的数学”.他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径.这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同.
波利亚的解题训练不同于“题海战术”,他反对让学生做大量的题,因为大量的“例行运算”会“扼杀学生的兴趣,妨碍他们的智力发展”.因此,他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.
波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中,该书的中心思想是解题过程中怎样诱发灵感.书的一开始就是一张“怎样解题表”,在表中收集了一些典型的问题与建议,其实质是试图诱发灵感的“智力活动表”.正如波利亚在书中所写的“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表”“,表中的问题和建议并不直接提到好念头,但实际上所有的问题和建议都与它有关”.
二、波利亚的合情推理理论
通常,人们在数学课本中看到的数学是“一门严格的演绎科学”.其实,这仅是数学的一个侧面,是已完成的数学.波利亚大力宣扬数学的另一个侧面,那就是创造过程中的数学,它像“一门实验性的归纳科学”.波利亚说,数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个定理之前,先得猜想、发现出这个定理的内容,在完全作出详细证明之前,还得不断检验、完善、修改所提出的猜想,还得推测证明的思路.在这一系列的工作中,需要充分运用的不是论证推理,而是合情推理.论证推理以形式逻辑为依据,每一步推理都是可靠的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系.合情推理则只是一种合乎情理的、好像为真的推理.例如,律师的案情推理,经济学家的统计推理,物理学家的实验归纳推理等,它的结论带有或然性.合情推理是冒风险的,它是创造性工作所赖以进行的那种推理.合情推理与论证推理两者互相补充,缺一不可.
波利亚的《数学与合情推理》一书通过历史上一些有名的数学发现的例子分析说明了合情推理的特征和运用,首次建立了合情推理模式,开创性地用概率演算讨论了合情推理模式的合理性,试图使合情推理有定量化的描述,还结合中学教学实际呼吁: “要教学生猜想,要教合情推理”,并提出了教学建议.这样就在笛卡尔、欧拉、马赫、波尔察诺、庞加莱、阿达玛等数学大师的基础上前进了一步,他无愧于当代合情推理的领头人.数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理.拉普拉斯曾说过: “甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视,并注意到更广泛的合情推理.他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式,还指出了其中的教学意义和教学方法.波利亚反复呼吁:只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话,数学教学中就必须有教猜想的地位,必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,他也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.
怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法.波利亚说,教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地自觉去试验、观察,得到猜想.“学生自己提出了猜想,也就会有追求证明的渴望,因而此时的数学教学最富有吸引力,切莫错过时机.”波利亚指出,要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握合情推理.
三、波利亚论教学原则及教学艺术
有效的教学手段应遵循一些基本的原则,而这些原则应当建立在数学学习原则的基础上,为此,波利亚提出了下面三条教学原则.
1.主动学习原则.学习应该是积极主动的,不能只是被动或被授式的,不经过自己的脑子活动就很难学到什么新东西,就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.这样,会使自己体验到思考的紧张和发现的喜悦,有利于养成正确的思维习惯.因此,教师必须让学生主动学习,让思想在学生的头脑里产生,教师只起助产的作用.教学应采用苏格拉底回答法:向学生提出问题而不是讲授全部现成结论,对学生的错误不是直接纠正,而是用另外的补充问题来帮助暴露矛盾.
2.最佳动机原则.如果学生没有行动的动机,就不会去行动.而学习数学的最佳动机是对数学知识的内在兴趣,最佳奖赏应该是聚精会神的脑力活动所带来的快乐.作为教师,你的职责是激发学生的最佳动机,使学生信服数学是有趣的,相信所讨论的问题值得花一番功夫.为了使学生产生最佳动机,解题教学要格外重视引入问题时,尽量诙谐有趣.在做题之前,可以让学生猜猜该题的结果,或者部分结果,旨在激发兴趣,培养探索习惯.
3.循序阶段原则. “一切人类知识以直观开始,由直观进至概念,而终于理念”,波利亚将学习过程区分为三个阶段:①探索阶段———行动和感知;②阐明阶段———引用词语,提高到概念水平;③吸收阶段———消化新知识,吸取到自己的知识系统中.
教学要尊重学习规律,要遵循循序阶段性,要把探索阶段置于数学语言表达(如概念形成)之前,而又要使新学知识最终融汇于学生的整体智慧之中.新知识的出现不能从天而降,应密切联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等,给学生“探索阶段”;学了新知识之后,还要把新知识用于解决新问题或更简单地解决老问题,建立新旧知识的联系,通过新学知识的吸收,对原有知识的结构看得更清晰,进一步开阔眼界.波利亚说,遗憾的是,现在的中学教学里严重存在忽略探索阶段和吸收阶段而单纯断取概念水平阶段的现象.
以上三个原则实际上也是课程设置的原则,比如:教材内容的选取和引入,课题分析和顺序安排,语言叙述和习题配备等问题也都要以学和教的原则为依据.
有效的教学,除了要遵循学与教的原则外,还必须讲究教学艺术.
波利亚明确表示,教学是一门艺术.教学与舞台艺术有许多共同之处,有时,一些学生从你的教态上学到的东西可能比你要讲的东西还多一些,为此,你应该略作表演.教学与音乐创作也有共同点,数学教学不妨吸取音乐创作中预示、展开、重复、轮奏、变奏等手法.教学有时可能接近诗歌.波利亚说,如果你在课堂上情绪高涨,感到自己诗兴欲发,那么不必约束自己;偶尔想说几句似乎难登大雅的话,也不必顾虑重重. “为了表达真理,我们不能蔑视任何手段”,追求教学艺术亦应如此.
四、波利亚论数学教师的思和行
波利亚把数学教师的素质和工作要点归结为以下十条.
1.教师首要的金科玉律是:自己要对数学有浓厚的兴趣.如果教师厌烦数学,那学生也肯定会厌烦数学.因此,如果你对数学不感兴趣,你就不要去教它,因为你的课不可能受学生欢迎.
2.熟悉自己的科目———数学科学.如果教师对所教的数学内容一知半解,那么即使有兴趣,有教学方法及其他手段,也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生.
3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程,懂得学习原则,明确认识到:学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现其中的奥秘.
4.努力观察学生们的面部表情,觉察他们的期望和困难,设身处地把自己当作学生.教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上.波利亚说,以上四条是搞好数学教学的精髓.
5.不仅要传授知识,还要教技能技巧,培养思维方式以及得法的工作习惯.
6.让学生学会猜想问题.
7.让学生学会证明问题.严谨的证明是数学的标志,也是数学对一般文化修养的贡献中最精华的部分.倘若中学毕业生从未有过数学证明的印象,那他便少了一种基本的思维经验.但要注意,强调论证推理教学,也要强调直觉、猜想的教学,这是获得数学真理的手段,而论证则是为了消除怀疑.于是,教证明题要根据学生的年龄特征来处理,一开始给中学生教数学证明时,应该多着重于直觉洞察,少强调演绎推理.
8.从手头中的题目中寻找出一些可能用于解今题目的特征———揭示出存在于当前具体情况下的一般模式.
9.不要把你的全部秘诀一古脑儿地倒给学生,要让他们先猜测一番,然后你再讲给他们听,让他们独立地找出尽可能多的东西.要记住“,使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽”(伏尔泰).
10.启发问题,不要填鸭式地硬塞给学生.
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